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会骗人的概率论 -- 一亿分之一的巧合

今天看到一本侦探小说<<Poisoned Chocolates Case>>, 其中反复提到一种理论, 这个理论在许多侦探故事里面也用到过:

"当所有巧合都摆在一起的时候, 它就指向一种必然性. 比如说, 犯人应当具有对于某种特定毒药的知识, 这种可能性大概只有四分之一; 犯人应该能够拿到某种特别的记录纸, 这种可能性大概只有一百分之一; 考虑到其它的十种各自独立的情况, 某个人和这十二个特征都巧合的概率大概比一亿分之一还小."

然后侦探就理所当然的推导出了这个唯一可能是犯人的人 -- 他自己, 糟糕的是, 他怎么也想不起他自己是何时犯下了这桩命案的了.

这个侦探犯下了一个很基本的概率论上的错误.

我们把每个巧合发生看作一个事件, 如果考察十个独立的事件, 每个事件发生的概率是十分之一, 那么十个事件, 也就是十个巧合都发生的概率是多少呢?

是十的十次方, 大约是百亿分之一, 十分小的概率.

但是如果我们有一百个可能的巧合, 其中有十个或十个以上发生的概率是多少呢?

如果每个事件发生的概率还是十分之一的话, 那么总事件的平均数差不多应该是十, 考虑到平均数的含义, 有十个或者十个以上事件发生的概率应该接近50%. 当然另外有很精确的方法可以算出这个概率来, 但是运算就很繁杂了.

可见, 十个事先指定的巧合都发生, 和发现十个巧合, 是两个概率十分不同的情形. 对于前者, 在指定哪些事件会发生巧合的时候, 并不事先知道这个巧合是否真的会发生,是在知识为零的情况下作出的指定; 而对于后者, 是先确定了巧合的发生, 后指定了事件, 是知识不为零的情况下作出的指定; 前者是概率很小的事件, 而后者的概率相当大.

而相当多的侦探故事, 甚至于生活中的许多案例, 都是在发现了一些巧合之处之后, 去怀疑到一个人, 这种对巧合事件的选择, 是属于后者, 事实上错判的概率是相当大的. 这种怀疑从概率论上是站不住脚的. 可是就偏偏有这样一些法庭, 根据一些巧合, 在没有确凿证据的情况下, 去判定一个人有罪, 逻辑不好的人, 实在是不适合当陪审团或者法官的角色.

要怎样才能指定出一亿分之一的巧合呢? 只有在零知识的前提下指定可能的特征, 然后去寻找这些特征全都符合的人, 才能比较肯定的说, 这个人就是犯人. 侦探必须证明自己指定的特征是零知识的指定, 才能有把握的去认定那个犯人.

其实, 即使知道某个人是一亿分之一的巧合, 也不能够认定他就是犯人, 因为还有一亿分之一的可能性真的是巧合呢, 人还是有可能会抽中大奖的对不对? 如果真的要抓到犯人, 还是认真的找些赖不掉的证据出来吧.

这个巧合理论在科学研究上也有使用, 科学家研究实验数据, 发现规律, 其实就是一个发现巧合的过程, 而我们都知道, 这种巧合是相当靠不住的; 为了证明自己的理论是正确的, 必须要对理论进行外推, 推出以前没有得到过的可能的实验数据, 这种事先预测结果的实验, 如果成功了, 那么其他人才会真正相信这个理论很可能是正确的. 看, 科学家们虽然有很多人都不懂什么概率论, 但是他们对什么样的巧合是靠不住的, 什么是靠得住的这一点来看, 直觉是相当准的哦.
 


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